Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，b=4，cos（A-B）=

31

32

．
（Ⅰ） 求sinB的值；
（Ⅱ） 求cosC的值．

Answer 1

分析：（I）由a＞b可知A＞B，然后由cos（A-B）可求sin（A-B），再由正弦定理，

sinA

sinB

=

a

b

=

5

4

可得

5sinB

4

=sinA=sin[（A-B）+B]，展开后可求tanB=

sinB

cosB

，进而可求sinB
（II）由B＜A及sinB可求cosB，由cosA=cos[（A-B）+B]=cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB可求cosA，结合同角平方关系可求sinA，代入cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，进而可求cosC

解答：解：（I）∵a＞b
∴A＞B
由cos（A-B）=

31

32

可知A-B∈(0，

1

2

π)
∴sin（A-B）=

1-( 31 32 )2

=

3 7

32

由正弦定理，

sinA

sinB

=

a

b

=

5

4

于是

5sinB

4

=sinA
=sin[（A-B）+B]=sin（A-B）cosB+sinBcos（A-B）
=

3 7

32

cosB+

31

32

sinB
∴3sinB=

7

cosB
∴tanB=

sinB

cosB

=

7

3

∴sinB=

7

4

（II）由B＜A及sinB=

7

4

可得cosB=

3

4

∴cosA=cos[（A-B）+B]=cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB
=

31

32

×

3

4

-

3 7

32

×

7

4

=

9

16

∴sinA=

5 7

16

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

9

16

×

3

4

-

5 7

16

×

7

4

=-

1

8

故cosC=-cos（A+B）=

1

8

点评：本题主要考查了正弦定理、同角基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力