Question

（本小题满分14分）

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

（I）求数列的通项公式；

（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

Answer 1

解析：（Ⅰ）当时，

又

数列成等比数列，其首项，公比是

……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

   =

 又

当

当

                    

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设

则

    

    

     >

对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾。

另一方面，当时，对一切的正整数n都有

事实上，对任意的正整数k，有

         

         

当n为偶数时，设

则

     <      

当n为奇数时，设

则

<

对一切的正整数n，都有

综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分