Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长都是2，D，E分别是BB₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；
（Ⅱ）求证：BE∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求证：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意知，正三棱柱的底面是正三角形，侧面均为正方形，因此不难计算得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积S=2×

3

4

×22+3×22=12+2

3

．
（Ⅱ）欲证直线与平面平行先找直线与直线平行，由此利用三角形的中位线定理，得出四边形BDC₁E是平行四边形，最后结合直线与平面平行的判定定理，
得到BE∥平面ADC₁；
（Ⅲ）取AC中点H，连OH、BH在△ACC₁中利用中位线定理，结合BD∥CC₁且BD=

1

2

CC₁，可证得四边形BDOH是平行四边形．最后利用OD的平行线BH与平面ACC₁A₁垂直，得到OD的与平面ACC₁A₁，根据平面与平面垂直的判定定理得到平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（I）解由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且棱长均为2，
可知底面是正三角形，侧面均为正方形，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积S=2×

3

4

×22+3×22=12+2

3

．
（II）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为D，E分别是BB₁，CC₁的中点，
可知BD=

1

2

BB1=

1

2

CC1=EC1，又BD∥EC₁，
所以四边形BDC₁E是平行四边形，故BE∥DC₁，
又DC₁?平面ADC₁，BE?平面ADC₁，
所以BE∥平面ADC₁．
（III）取AC中点H，连接OH、BH
∵在△ACC₁中，OH是中位线
∴OH∥ CC 1且OH=

1

2

CC 1，结合BD∥CC₁且BD=

1

2

CC₁
得四边形BDOH是平行四边形
∴BH∥OD
∵BH⊥平面ACC₁A₁
∴OD⊥平面ACC₁A₁
因为OD在平面ADC₁内
∴平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁

点评：本题考查了平面与平面、平面与直线的平行及垂直等定理，属于中档题．解决本问题的关键是熟练利用空间线面关系、线线关系解决夹角与距离问题，主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力．