题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为
1
2

（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+m（|k|≤
1
2
）与椭圆C相交于点A、B两点，且
OP
=
OA
+
OB
，其中P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．
（I）∵椭圆的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为
1
2

∴
b2
a
=
3
2
，
a2-b2
a2
=
1
4

∴a2=4，b2=3
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±
3
2
，
所以|OP|=
3

当k≠0时，则由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0③
设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），
则x0=x1+x2=-
8km
3+4k2
，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=
6m
3+4k2
．
由于点P在椭圆C上，所以
x02
4
+
y02
3
=1．
从而
16k2m2
(3+4k2)2
+
12m2
(3+4k2)2
=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．
又|OP|=
x02+y02
=
64k2m2
(3+4k2)2
+
36m2
(3+4k2)2
=
4-
3
3+4k2

因为0＜|k|≤
1
2
，得3＜4k2+3≤4，有
3
4
≤
3
3+4k2
＜1，
故
3
＜|OP|≤
13
2
．
综上，所求|OP|的取值范围是[
3
，
13
2
]．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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