Question

【题目】设，函数.

(Ⅰ)若，求曲线在处的切线方程；

(Ⅱ)若无零点，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若有两个相异零点，求证： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)首先求得函数的导数，然后利用导函数研究函数的切线可得曲线在处的切线方程是；

(Ⅱ)结合函数的解析式分类讨论可得实数的取值范围是；

(Ⅲ)由题意结合题中的结论构造函数即可证得题中的不等式.

试题解析：

(Ⅰ)函数的定义域为，

当时， ，则切线方程为，即.

(Ⅱ)①若时，则是区间上的增函数，

∵，

∴，函数在区间有唯一零点；

②若有唯一零点；

③若，令，得，

在区间上， ，函数是增函数；

在区间上， ，函数是减函数；

故在区间上， 的最大值为，

由于无零点，须使，解得，

故所求实数的取值范围是.

(Ⅲ)设的两个相异零点为，设，

∵，∴，

∴，

∵，要证，只需证，

只需，等价于，

设上式转化为)，

设，

∴在上单调递增，

∴，∴，

∴.