Question

已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量、、满足，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若，，证明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据 表示出向量 ，再由A，B，C三点共线可得到关系式 ，整理即可得到答案．
（2）由，，可知a＞lnx，由（1）得，所以要证原不等式成立，只须证：，构造函数，利用函数在上均单调递增，则求出函数的最大值即可证得．
（3）将函数f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得 ，然后令 ，根据导数判断其单调性并求出其单调区间，即可求得函数φ（x）的最小值，再根据在[0，1]上恰有两个不同的实根结合函数的性质求出答案．
解答：解：（1）由题意，
∵A、B、C三点共线，
∴
∴
（2）∵，，则a＞lnx
又由（1）得，，，则
∴要证原不等式成立，只须证：（*）
设．
∵
∴h（x）在上均单调递增，则h（x）有最大值，
又因为，所以a＞h（x）在恒成立．
∴不等式（*）成立，即原不等式成立．
（3）方程f（x）=2x+b即，令，
∴
当时，ϕ′（x）＜0，ϕ（x）单调递减，
当时，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）单调递增，
∴ϕ（x）有极小值为=即在[0，1]上的最小值．
又ϕ（0）=ln2，，又-ln2=
∴ln5-＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln2．
点评：本题以向量为依托，考查向量在几何中的应用以及利用导函数研究原函数的单调性，解题的关键是利用 A、B、C共线时，=λ +（1-λ） ，建立等式，同时证明不等式时利用了分离参数法，也是我们应该掌握的方法．