Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出最小值与最大值．

解答：解：f（x）=

3

sin2x+cos2x+1=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
（1）∵ω=2，∴T=π；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值为2+1=3；
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值为-1+1=0．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．