Question

如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P

（1）求证：

（2）若⊙O的半径为，OA=OM,求MN的长

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解.

规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.

试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，

则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB

∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN

由条件，根据切割线定理，有

所以

（2）OM=2，在Rt△BOM中，

延长BO交⊙O于点D，连接DN

由条件易知△BOM∽△BND，于是

即，得BN=6

所以MN=BN-BM=6-4=2.

考点：1.切割线定理；2.相似三角形.