Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函数f（x）的单调区间和最大值；
（2）若f（x）≤0恒成立，求k的取值范围；
（3）证明：①ln（x-1）＜x-2在（2，+∞）上恒成立；②

n

i=2

（

lni

i+1

）＜

n(n-1)

4

（n∈N，n＞1）

Answer 1

分析：（1）求出导函数，通过对k的讨论，判断出导函数的符号，列出x，f′（x），f（x）变换情况，求出函数f（x）的单调区间和最大值．
（2）当k≤0时，在[2，+∞）上有f（x）＞0，不满足题意，当k＞0时，令f（x）的最大值ln（

1

k

）≤0 求出k的范围即可．
（3）取k=1，由（2）知f（x）=ln（x-1）-x+2≤0恒成即ln（x-1）≤x-2  所以

ln(x-1)

x

≤

x-2

x

 令x=n+1得到

lnn

n+1

＜

n-1

n+1

＜

n-1

2

   即证得

n

i=2

(

lni

i+1

)＜

n(n-1)

4

成立．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x-1

-k （x＞1）
   当k≤0时，f（′x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增
   即f'（x）的增区间为（1，+∞）  无减区间
   当k＞0时，令f'（x）=0得x=1+

1

k

  x，f′（x），f（x）变换情况如下：
  当  x∈（1，1+

1

k

），f′（x）＞0；     
当x∈（1+

1

k

，+∞），f′（x）＜0  
  所以f（x）的增区间为（1，1+

1

k

） 减区间为（1+

1

k

，+∞）
（2）当k≤0时，在[2，+∞）上有f（x）＞0，不满足题意
     当k＞0时，由（1）知，f（x）有极大值也是最大值f（1+

1

k

）=ln（

1

k

）
∵f（x）≤0恒成立
∴只需f（x）的最大值ln（

1

k

）≤0 解得k≥1
    综上，k∈[1，+∞）
（3）取k=1，由（2）知f（x）=ln（x-1）-x+2≤0恒成立
   即ln（x-1）≤x-2 
所以

ln(x-1)

x

≤

x-2

x

   令x=n+1，则

lnn

n+1

＜

n-1

n+1

＜

n-1

2

  
∴

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

＜

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

n(n-1)

4

即

n

i=2

(

lni

i+1

)＜

n(n-1)

4

点评：解决函数的最值、单调性、极值及解决不等式恒成立求参数的范围以及证明不等式恒成立问题，常用的工具是导数，是属于综合题．