Question

设集合A={(x，y)|

m

2

≤(x-2)2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．

解答：解：依题意可知，若A∩B≠∅，则A≠∅，
必有

m

2

≤m2，解可得m≤0或m≥

1

2

，
此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，
①m=0时，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，
此时A∩B=∅，不合题意；
②当m＜0时，有|

2-2m

2

|＜-m且|

2-2m-1

2

|＜-m；
则有

2

-

2

m＞-m，

2

2

-

2

m＞-m，
又由m＜0，则2＞2m+1，可得A∩B=∅，不合题意；
③当m≥

1

2

时，有|

2-2m

2

|≤m或|

2-2m-1

2

|≤m，
解可得：2-

2

≤m≤2+

2

，1-

2

2

≤m≤1+

2

2

，
又由m≥

1

2

，则m的范围是[

1

2

，2+

2

]；
综合可得m的范围是[

1

2

，2+

2

]；
故答案为[

1

2

，2+

2

]．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线的距离来判断．