Question

（2011•重庆二模）已知函数f（x）=x³+ax与g（x）=2x²+b的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥mg（x）在[

1

2

，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用函数f（x）=x³+ax与g（x）=2x²+b的图象在x=1处有相同的切线，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（x）≥mg（x）在[

1

2

，2]上恒成立，等价于m≤

f(x)

g(x)

=

1

2

x+

1

2x

在[

1

2

，2]上恒成立，利用基本不等式求最值，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，g′（x）=4x，（2分）
由条件知ff（1）=g（1），ff′（1）=g′（1）
∴1+a=2+b，3+a=4
∴a=1，b=0；
（II）由（I）得f（x）=x³+x，g（x）=2x²，
不等式f（x）≥mg（x）在[

1

2

，2]上恒成立，等价于m≤

f(x)

g(x)

=

1

2

x+

1

2x

在[

1

2

，2]上恒成立，
∵

1

2

x+

1

2x

≥

1

2

•2

x• 1 x

=1，当且仅当x=1∈[

1

2

，2]时取等号
∴m≤1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．