Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，记f₂（x）=f₁'（x）．f₃（x）=f₂'（x），f_n（x）=f_n-1'（x）．（n∈N．n≥2）
则　=

1. A.
   -1
2. B.
   0
3. C.
   
4. D.
   1

Answer 1

D
分析：利用三角函数求导法则求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，每四项的和是一个常数，再将x=代入即可求得正确答案．
解答：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴=
=sin+cos=1．
故选D．
点评：本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于基础题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．