题目内容

已知f1（x）=sinx+cosx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn（x）=fn-1′（x）（n∈N*且n≥2），则f1(
π
2
)+f2(
π
2
)+…+f2013(
π
2
)=
1
1
．
分析：通过求导得出其周期即可得出．
解答：解：∵f1（x）=sinx+cosx，∴f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，f3（x）=f2′（x）=-sinx-cosx，f4（x）=-cosx+sinx，f5(x)=
f
′
4
(x)=sinx+cosx=f1（x）
∴…，fn（x）=fn+4（x）（n∈N*且n≥2），
又f1(
π
2
)+f2(
π
2
)+f3(
π
2
)+f4(
π
2
)=0，
∴f1(
π
2
)+f2(
π
2
)+…+f2013(
π
2
)=f1(
π
2
)=sin
π
2
+cos
π
2
=1．
故答案为1．
点评：通过求导得出其周期是解题的关键．
练习册系列答案
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已知f1（x）=sinx+cosx，记f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，fn（x）=f′n-1（x），（ n∈N*，n≥2）．则f1（
π
4
）+f2（
π
4
）+…+f2010（
π
4
）=
 
．
已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N+，则f2013（x）=（　　）
已知f1（x）=sinx-cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2(x)=f1′(x)，f3(x)=f2′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N*，则f2012（x）=（　　）
已知f1（x）=sinx，f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2012（x）=（　　）

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