Question

（2003•海淀区一模）已知0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π且tan

α

2

=

1

2

，sin(α+β)=

5

13

（Ⅰ）分别求cosα与cosβ的值；
（Ⅱ）求tan

α-β

2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式中的商数关系式求出cos

α

2

=

2

5

，sin

α

2

=

1

5

，再利用二倍角公式求出cosα，将cosβ转化为cos[（α+β）-α]，利用差角余弦公式求解．
（Ⅱ）先利用半角正切公式tg

β

2

=

1-cosβ

sinβ

求出tg

β

2

再利用差角正切公式求解．

解答：（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，tg

α

2

=

1

2

且0＜

α

2

＜

π

4

∴cos

α

2

=

2

5

，sin

α

2

=

1

5

∴cosα=2cos2

α

2

-1=

3

5

sinα=

4

5

…（3分）
又sin(α+β)=

5

13

，

π

2

＜α+β＜

3π

2

∴cos(α+β)=-

12

13

…（5分）
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

12

13

•

3

5

+

5

13

•

4

5

=-

16

65

…（8分）
(Ⅱ)∵cosβ=-

16

65

，

π

2

＜β＜π，
∴sinβ=

1-(- 16 65 )2

=

63

65

…（10分）
∴tg

β

2

=

1-cosβ

sinβ

=

1+ 16 65

63 65

=

81

63

=

9

7

∴tg

α-β

2

=

tg α 2 -tg β 2

1+tg α 2 tg β 2

=

1 2 - 9 7

1+ 1 2 • 9 7

=-

11

23

…（14分）

点评：本题考查三角函数公式的灵活、准确应用．考查公式应用能力，运算求解能力．