Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，BD交AC于E．
（I）求证：CD²=DE•DB．　
（II）若CD=2O到AC的距离为1，求⊙O的半径．

Answer 1

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED
∴
∴CD²=DE•DB．
（II）解：设⊙O的半径为R
∵D是弧AC的中点
∴OD⊥AC，设垂足为F
在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=
在直角△CFD中，DC²=CF²+DF²
∴
∴R²-R-6=0
∴（R-3）（R+2）=0
∴R=3
分析：（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；
（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半径．
点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．