Question

求下面各数列的一个通项：
(1)-

1

2×4

，

4

5×7

，-

9

8×10

，

16

11×13

，…；
（2）数列的前n项的和S_n=2n²+n+1；
（3）数列{a_n}的前n项和S_n=1+ra_n（r为不等于0，1的常数）．

Answer 1

分析：（1）先根据各项的符号确定（-1）ⁿ，再由各项分子是序号的平方从而可得到分子为n²，再由分母的形式可确定分母为（3n-1）（3n+1），进而可确定数列的通项公式．
（2）先令n=1可得到a₁的值，再由当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，最后验证当n=1时的值，得到答案．
（3）先根据S_n=1+ra_n可得到S_n-1=1+ra_n-1，再由当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=r（a_n-a_n-1），可得到

an

an-1

=

r

r-1

，可确定数列{a_n}是公比为

r

r-1

的等比数列，最后根据等比数列的通项公式可得到答案．

解答：解：（1）an=(-1)n

n2

(3n-1)(3n+1)

．
（2）当n=1时a₁=S₁=4，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
显然a₁不适合a_n=4n-1
∴an=

4     (n=1) 4n-1   (n≥2)

．
（3）由S_n=1+ra_n可得当n≥2时S_n-1=1+ra_n-1，
∴S_n-S_n-1=r（a_n-a_n-1），
∴a_n=ra_n-ra_n-1，∴a_n（r-1）=ra_n-1，∵r≠1，
∴

an

an-1

=

r

r-1

，∵r≠0，
∴{a_n}是公比为

r

r-1

的等比数列．
又当n=1时，S₁=1+ra₁，∴a1=

1

1-r

，
∴an=

1

1-r

(

r

r-1

)n-1．

点评：本题主要考查求数列通项公式的方法--观察法和利用S_n与a_n的关系进行转化法．求数列的通项公式是数列考查的重点，要熟练掌握．