题目内容

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=2，BC=1，D为AC中点，若规定主视方向为垂直于平面ACC₁A₁的方向，则可求得三棱柱左视图的面积为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁BD的体积．

解：（Ⅰ）如图，取A₁B，AB₁交点O，连接OD，
∵△AB₁C中，OD是中位线，∴OD∥B₁C
∵OD⊆平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD…．（5分）
（II）∵主视图方向为垂直于平面ACC₁A₁的方向，
∴三棱柱左视图为一个矩形，
∵高为2，左视图面积为 $\text{[math]}$ ，
∴左视图宽为 $\text{[math]}$ ，即底面三角形高为 $\text{[math]}$ ，即在三角形ABC中，B点到AC的距离为 $\text{[math]}$ ，…．（8分）
根据射影定理可得∠ABC=90°， $\text{[math]}$ ；
∴三棱锥A-A₁BD以AA₁=2为高，S_△ABD=1，可得三棱锥A-A₁BD的体积为 $\text{[math]}$ …．（12分）
分析：（I）取A₁B、AB₁交点O，连接OD，用三角形中位线定理证出OD∥B₁C，再用线面平行的判定定理，可以得到B₁C∥平面A₁BD．
（II）三棱柱左视图的面积为 $\text{[math]}$ ，而高等于2，可得三角形ABC中，B点到AC的距离为 $\text{[math]}$ ，结合平面几何知识，得到∠ABC=90°且 $\text{[math]}$ ，从而得到三棱锥A-A₁BD的底面积和高，求得它的体积．
点评：本题给出特殊三棱柱，叫我们证明线面平行并求锥体体积，着重考查了直线与平面平行的判定定理和棱柱、棱锥的体积公式等知识，属于基础题．