Question

如图，矩形ABCD中，|AB|=10，|BC|=6，现以矩形ABCD的AB边为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使得PC、PD与线段AB分别交于点C₁、D₁，且|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比数列．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求动点P到直线l：x+y+6=0距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设点P的坐标为（x，y）（y＞0），用坐标分别表示出|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|，利用|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比数列，得方程，进而化简即可得动点P的轨迹方程；
（2）由图易知当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时，点P到直线l距离的最大．设与直线l：x+y+6=0平行的直线方程为x+y+k=0，代入

x2

25

+

y2

9

=1，化简得 34x²+50kx+25k²-225=0，利用△=0，可求k的值．从而可求点P到直线l距离的最大值及点P的坐标．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y）（y＞0），过P作PE∥CD交DA的延长线于E，交CB的延长线于F．

在△DPE中，

|D1A|

|PE|

=

|DA|

|DE|

，得

|D1A|

5-x

=

6

6+y

，
得|D1A|=

6(5-x)

6+y

．
在△PCD中，

|C1D1|

|CD|

=

|PD1|

|PD|

=

|EA|

|ED|

=

y

6+y

，
得|C1D1|=

10y

6+y

．
同理可得|C1B|=

6(5+x)

6+y

．
∵|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比数列，
∴|D₁C₁|²=|AD₁|•|C₁B|．
∴（

10y

6+y

）²=

6(5-x)

6+y

•

6(5+x)

6+y

．
化简得

x2

25

+

y2

9

=1(y＞0)．
∴动点P的轨迹方程为

x2

25

+

y2

9

=1(y＞0)．
（2）由图易知当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时，点P到直线l距离的最大．
设与直线l：x+y+6=0平行的直线方程为x+y+k=0，代入

x2

25

+

y2

9

=1，
得 34x²+50kx+25k²-225=0，①
由△=2500k²-3400（k²-9）=0，
解得k²=34，由k＜0，得k=-

34

．
故点P到直线l距离的最大值为

|k-6|

2

=

|- 34 -6|

2

=3

2

+

17

．
把k=-

34

代入①式，可解得点P的坐标为(

25 34

34

，

9 34

34

)．

点评：本题以等比数列为载体，考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将问题转化为当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时，点P到直线l距离的最大求解