Question

已知函数f(x)=

1

2

(x-1)2+lnx-ax+a
（1）当a=2时，求证：对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1；
（2）若x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），因为g′(x)=f′(x)+1=

(x-1)2

x

≥0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，由此能够证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．
（2）由x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，分a≤1和a＞1两种情况进行分类讨论，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），
因为g′(x)=f′(x)+1=

(x-1)2

x

≥0，
所以g（x）在（0，+∞）上递增，（3分）
所以g（x₂）＞g（x₁），
故

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．（5分）
（2）∵x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，
当a≤1时，
f′(x)=x+

1

x

-a-1＞2-a-1≥0
∴f（x）在（1，3）上递增，
所以f（x）＞f（1）=0满足条件．（8分）
当a＞1时，
令f′(x)＜0⇒0＜

a+1- a2+2a-3

2

=x1＜x＜x2=

a+1+ a2+2a-3

2

，
∵f′（1）=1-a＜0，
∴x₁＜1＜x₂，
令b=min{x₂，3}，则f（x）在（1，b）上递减，
所以f（x）＜f（1）=0，不合题意．（11分）
综上a的取值范围为{a|a≤1}．（12分）

点评：本题考查不等式的证明，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质、分类讨论思想的合理运用．