Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解：取CE中点P，连结FP、BP， 　　∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝ 　　又AB∥DE，且AB＝∴AB∥FP，且AB＝FP， 　　∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．　2分 　　又∵AF平面BCE，BP平面BCE， 　　∴AF∥平面BCE．　4分 　　　(2)∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD 　　∵AB⊥平面ACD，DE∥AB， 　　∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD， 　　∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE＝D， 　　∴AF⊥平面CDE．　6分 　　又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP平面BCE， 　　∴平面BCE⊥平面CDE．　8分 　　(3)法一、由(2)，以F为坐标原点， 　　FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴(如图)， 　　建立空间直角坐标系F－xyz．设AC＝2， 　　则C(0，－1，0)，　9分 　　　11分 　　显然，为平面ACD的法向量． 　　设面BCE与面ACD所成锐二面角为 　　则． 　　即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．　14分 　　法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO． 　　则． 　　由AB是的中位线，则． 　　在，． 　　，又． 　　 　　．　12分 　　 　　即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．　14分