Question

如果函数f （x）满足：对任意的实数 x，y都有 f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ） 且f （ 1 ）=2，则

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(2)

+

f(6)

f(3)

+

f(8)

f(4)

+…+

f(20)

f(10)

=

 

．

Answer 1

分析：先由f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）得f （ 2x）=f （ x ）²?

f(2x)

f(x)

=f（x）．以及

f(x+1)

f(x)

=2，两个结论相结合可得

f(2n)

f(n)

=f（n）=2ⁿ．把问题转化为求等比数列的和，再代入求和公式即可．

解答：解：由 f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）得 f （ 2x）=f （ x ）²?

f(2x)

f(x)

=f（x）．
∵f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）?f （ x+1 ）=f （ x ）•f （ 2 ）=2f（x）?

f(x+1)

f(x)

=2，
所以数列{f（n）}是以2为首项，2为公比的等比数列，故f（n）=2×2^n-1=2ⁿ．
∴

f(2n)

f(n)

=f（n）=2ⁿ．
则

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(2)

+

f(6)

f(3)

+

f(8)

f(4)

+…+

f(20)

f(10)

=2¹+2²+2³+…+2¹⁰=

2(1-210)

1-2

=2¹¹-2=2046．
故答案为：2046．

点评：本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．