Question

已知函数f(x)=2asinxcosx+2bcos2x，且f(0)=8，f(

π

6

)=12．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入函数解析式，根据f（0）=8列出关于a与b的关系式，同理根据f（

π

6

）=12列出关于a与b的另一个关系式，联立两关系式即可求出a与b的值；
（2）把（1）求出的a与b代入确定出函数解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后由特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

即可求出函数的最小正周期，同时根据正弦函数的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间．

解答：解：(1)由f(0)=8，f(

π

6

)=12，可得：
f(0)=2b=8，f(

π

6

)=

3

2

a+

3

2

b=12，…（4分）
∴b=4，a=4

3

；…（6分）
（2）f（x）=4

3

sin2x+4cos2x+4=8sin（2x+

π

6

）+4，…（9分）
∵ω=2，∴T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π，即函数的最小正周期为π，…（10分）
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

时，正弦函数sin（2x+

π

6

）单调递增，
则函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（12分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解此类题的关键．