Question

已知函数f(x)=ex+

1

x-a

．
（1）当a=

1

2

时，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）当a＞1时，判断方程f（x）=0实根的个数．

Answer 1

分析：（1）先求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，然后根据切点和斜率可求出切线方程；
（2）先求定义域，然后讨论x的范围，可直接判定f（x）在区间（a，+∞）上的实数根的个数，在（-∞，a）上可利用导数研究函数的单调性和最值，可判定实数根的个数．

解答：解：（1）f(x)=ex+

1

x-a

，f′(x)=ex-

1

(x-a)2

，f′(0)=1-

1

a2

．
当a=

1

2

时，f'（0）=-3．又f（0）=-1．                           …．．（2分）
所以f（x）在x=0处的切线方程为y=-3x-1．                     …．．（4分）
（2）函数f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞）．
当x∈（a，+∞）时，ex＞0，

1

x-a

＞0，所以f(x)=ex+

1

x-a

＞0．
即f（x）在区间（a，+∞）上没有实数根．                            …．．（6分）
当x∈（-∞，a）时，f(x)=ex+

1

x-a

=

ex(x-a)+1

x-a

，
令g（x）=e^x（x-a）+1．                                          …（8分）
只要讨论g（x）=0根的个数即可．g'（x）=e^x（x-a+1），g'（a-1）=0．
当x∈（-∞，a-1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；
当x∈（a-1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以g（x）在区间（-∞，a）上的最小值为g（a-1）=1-e^a-1．                   …．．（10分）
∵a＞1时，g（a-1）=1-e^a-1＜0，即f（x）有两个实根．               …．．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及根的个数判断，同时考查了转化的思想，属于中档题．