Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos

A

2

=

2 5

5

，

AB

•

AC

=3．
（1）求△ABC的面积；   
（2）若c=1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cosA，把cos

A

2

的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，又bc=5，根据三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（2）由bc=5，且c=1，求出b的值，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）∵cos

A

2

=

2 5

5

，
∴cosA=2cos2

A

2

-1=2×(

2 5

5

)2-1=

3

5

，
又A∈（0，π），
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，由AB•AC=3得：bccosA=3，即bc=5，
所以△ABC的面积为

1

2

bcsinA=

1

2

×5×

4

5

=2；（6分）
（2）由bc=5，而c=1，所以b=5，又cosA=

3

5

，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，
得：a=

b2+c2-2bccosA

=

25+1-2×5× 3 5

=2

5

．（12分）

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式以及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．