Question

已知集合，集合B={x|log₄（x+1）＜a}，且A∩B=∅，则a的取值范围是________．

Answer 1

a≤1
分析：先把集合A中不等式的右边的1化为2⁰，由2大于1，得到指数函数为增函数，进而根据指数的大小得到关于x的不等式，求出不等式的解集确定出集合A，然后再把集合B中不等式的右边变形，根据4大于1，得到对数函数为增函数，同理可得关于x的不等式，求出不等式的解集可得到集合B，由两集合的交集为空集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到满足题意的a的范围．
解答：由集合A中的不等式=2⁰，
由2＞1，得到指数函数为增函数，
∴x²-x-6＞0，即（x-3）（x+2）＞0，
解得：x＞3或x＜-2，
∴集合A={x|x＞3或x＜-2}；
又对数函数为增函数，
由log₄（x+1）＜a=，得到x+1＜4^a，即x＜4^a-1，
由集合B中的不等式左边的对数函数y=log₄（x+1），且A∩B=∅，
得到-1＜x≤3，
∴4^a-1≤3，解得a≤1，
则a的取值范围是a≤1．
故答案为：a≤1
点评：此题属于以指数函数及对数函数的单调性及特殊点为平台，考查了交集的运算，熟练掌握指数及对数函数的性质是解本题的关键．