Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、G分别是BC、C₁D₁的中点，如图所示．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求证：EG∥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析：（1）通过正方体，利用三垂线定理证明BD⊥A₁C；
（2）取BD的中点F，连结EF，D₁F，证明四边形EFD₁G为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理，
证明EG∥平面BB₁D₁D．

解答：证明（1）连结AC，因为几何体是正方体，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，由三垂线定理可知：BD⊥A₁C；
（2）取BD的中点F，连结EF，D₁F，
因为E为BC的中点，所以EF为三角形BCD的中位线，
则EF∥DC，且EF=

1

2

CD，
∵G为C₁D₁的中点，∴D₁G∥CD，且D₁G=

1

2

CD
，∴EF∥D₁C，且EF=D₁G，∴四边形EFD₁G为平行四边形，
∴D₁F∥EG，而D₁F?平面BB₁D₁D，EG?平面BB₁D₁D，
∴EG∥平面BB₁D₁D．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，三垂线定理，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．