Question

如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k_AD•k_AE=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程为C：y²=2px（p＞0），由抛物线定义及|AF|=2即可求得p值；
（2）设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），DE方程为x=my+n（m≠0），直线DE方程与抛物线方程联立消x得y的方程，由韦达定理及k_AD•k_AE=2可得关于m，n的关系式，从而直线DE方程可用m表示，由直线方程的点斜式即可求得定点．

解答：解：（1）设抛物线方程为C：y²=2px（p＞0），
由其定义知|AF|=1+

p

2

，又|AF|=2，
所以p=2，y²=4x；
（2）易知A（1，2），设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
DE方程为x=my+n（m≠0），
把DE方程代入C，并整理得y²-4my-4n=0，△=16（m²+n）＞0，y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
由kAD•kAE=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2及

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，得y₁y₂+2（y₁+y₂）=4，即-4n+2×4m=4，
所以n=2m-1，代入DE方程得：x=my+2m-1，即（y+2）m=x+1，
故直线DE过定点（-1，-2）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线方程的求解，考查直线方程的点斜式，考查学生分析解决问题的能力．