Question

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用点A（-c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意知点A（-c，2）在椭圆上，则，即①
∵离心率，∴②
联立①②得：，所以b²=8．
把b²=8代入②得，a²=16．
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x-t）²+y²=r²，
不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．
联立，得x²-4tx+2t²+16-2r²=0．
由△=（-4t）²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8
又P（）在椭圆上，所以．
整理得，．
代入t²+r²=8，得．
解得：．所以，．
此时．
满足椭圆上的其余点均在圆Q外．
由对称性可知，当t＜0时，t=-，．
故所求椭圆方程为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．