Question

（选做） 
设关于x的二次函数f(x)=anx2-6an+1x+2(n∈N*)的图象与x轴交于两点（α，0），（β，0），且满足α-αβ+β=3．
（I）试用a_n表示a_n+1；
（II）当a₁=

7

6

时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）根据韦达定理，得α+β=

6an+1

an

，αβ=

2

an

，代入α-αβ+β=3．即可得出用a_n表示a_n+1的关系式．
（II）由（I）求出an+1-

2

3

=

1

2

an-

1

3

=

1

2

(an-

2

3

)，构造出数列{an-

2

3

}是公比为

1

2

的等比数列，通过求出数列{an-

2

3

}的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（I）根据韦达定理，得α+β=

6an+1

an

，αβ=

2

an

由α-αβ+β=3
得6•

an+1

an

-

2

an

=3
故an+1=

1

2

an+

1

3

（3分）
（II）因为an+1-

2

3

=

1

2

an-

1

3

=

1

2

(an-

2

3

)
所以

an+1- 2 3

an- 2 3

=

1

2

所以数列{an-

2

3

}是公比为

1

2

的等比数列（8分）
因为当a1=

7

6

时，a1-

2

3

=

1

2

所以数列{an-

2

3

}的通项公式an-

2

3

=

1

2

•(

1

2

)n-1
故数列{a_n}的通项公式为an=

2

3

+

1

2n

（10分）

点评：本题主要考查数列的递推公式、通项公式求解，考查转化构造、推理计算能力．