Question

（2011•咸阳三模）已知函数f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a得取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设g（x）=x²+|x-a|，（1≤x≤3），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（Ⅱ）已知f（x）在区间（0，1）上是增函数，即f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
（Ⅲ）去绝对值符号，转化为二次函数在定区间上求最值问题，对对称轴讨论．

解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²+lnx-3x；
∴f′(x)=2x+

1

x

-3
由f′（x）＞0得，0＜x＜

1

2

或x＞1；
故所求f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)、(1，+∞)
（Ⅱ）f′(x)=2x+

1

x

-a．
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴2x+

1

x

-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+

1

x

恒成立．
∵2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号）．
所以a＜2

2

．
当a=2

2

时，易知f（x）在（0，1）上也是增函数，
所以a≤2

2

．　
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a≤2

2

当a≤1时，g（x）=x²+x-a在区间[1，3]上是增函数
所以g（x）的最小值为g（1）=2-a．　　　　
当1＜a≤2

2

时，g(x)=

x2-x+a(1≤x＜a) x2+x-a(a≤x≤3)

　
因为函数g（x）在区间[a，3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，
所以g（x）在[1，3]上为增函数，
所以g（x）的最小值为g（1）=a．
所以，当a≤1时，g（x）的最小值为2-a；
当1＜a≤2

2

时，g（x）的最小值为a．

点评：此题是难题．考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．