Question

（2012•株洲模拟）已知函数f（x）=a₀+a₁x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N^*）的图象经过点（0，0）和（1，n²）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

anan+1

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据函数的图象经过点（0，0）和（1，n²），利用再写一式，两式相减法，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法，可求数列{

1

anan+1

}的前n项和．

解答：解：（1）由题意，f（0）=0，则a₀=0，
∵f（1）=n²，∴a1+a2+…+an=n2
当n≥2时，a1+a2+…+an-1=(n-1)2，
两式相减可得a_n=2n-1，
又因为a₁=1=S₁，所以a_n=2n-1；
（2）因为

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

-…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和方法是关键．