题目内容
（2012•淮北二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
，试求△ABC周长l的范围．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
| 3 |
分析：（Ⅰ）由题意得：2bcosB=acosC+c•cosA，再由正弦定理化简可得cosB=
，由此求得B的值．
（Ⅱ）由（1）知 2R=
=2 故 l=a+b+c=b+（a+c）=
+2
sin（A+
）．再由 A∈（0，
），可得 A+
∈（
，
），sin（A+
）∈（
，1]，由此得到l的范围．
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）由（1）知 2R=
| b |
| sinB |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）由题意得：2bcosB=acosC+c•cosA，再由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=
，故B=
．
（Ⅱ）由（1）知 2R=
=2 故 l=a+b+c=b+（a+c）=
+2R（sinA+sinC）=
+2[sinA+sin（A+
）]=
+2
sin（A+
）．
再由 A∈（0，
），∴A+
∈（
，
），
∴sin（A+
）∈（
，1]，
∴l=
+2
sin（A+
）∈（2
，3
]．
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（1）知 2R=
| b |
| sinB |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
再由 A∈（0，
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴sin（A+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴l=
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理的应用，属于中档题．
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