Question

设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和，证明：

log0.  5Sn+log0. 5Sn+2

2

＞log0. 5Sn+1．

Answer 1

证明：设{a_n}的公比为q，由题设知a₁＞0，q＞0，
（1）当q=1时，S_n=na₁，从而
S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0．
（2）当q≠1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，从而
S_n•S_n+2-S_n+1²=

a 21 (1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

-

a 21 (1-qn+1)2

(1-q)2

=-a₁²qⁿ＜0．
由（1）和（2）得S_n•S_n+2＜S_n+1²．
根据对数函数的单调性，得log_0.5（S_n•S_n+2）＞log_0.5S_n+1²，
即

log0.  5Sn+log0. 5Sn+2

2

＞log0. 5Sn+1．