Question

已知函数f（x）=ae^2x+（a+1）x+1
（1）当a=-

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，若对?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-

1

2

时，求导函数，由导数正负可确定函数的单调性；
（2）对?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，两边同除以|x₁-x₂|，等价于|f′（x）|≥4e^x，由此可求a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-

1

2

时，求导函数可得f′（x）=-e^2x+

1

2

令f′（x）＞0可得x＜-

1

2

ln2，令f′（x）＜0可得x＞-

1

2

ln2
∴函数的单调增区间为（-∞，-

1

2

ln2），单调减区间为（-

1

2

ln2，+∞）；
（2）∵对?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，
∴两边同除以|x₁-x₂|，可得|f′（x）|≥4e^x，
∴|2ae^2x+（a+1）|≥4e^x，
∵a＜-1
∴2ae^2x+4e^x+（a+1）≤0
令e^x=t（t＞0），则2at²+4t+（a+1）≤0
∵a＜-1，∴0＜-

1

a

＜1，a+1＜0
∴△=16-8a（a+1）≤0
∴（a+2）（a-1）≥0
∴a≥1或a≤-2．
∵a＜-1，
∴a≤-2

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数概念，考查恒成立问题，属于中档题．