Question

△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）设函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

，求f（B）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）观察已知，自然想到余弦定理，然后求角A的大小；
（Ⅱ）通过函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

，化为一个解答一个三角函数的形式，根据A的值确定B是范围，结合函数表达式，求f（B）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²+c²-a²=bc，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得cosA=

1

2

．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分）（3分）
∵0＜A＜π（或写成A是三角形内角）（4分）
∴A=

π

3

．（5分）
（Ⅱ）函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

  （7分）
=sin（x+

π

6

）+

1

2

，（9分）
∵A=

π

3

∴B∈（0，

2π

3

）∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

（没讨论，扣1分）（10分）
∴当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，f（B）有最大值是

3

2

．（13分）

点评：本题是基础题，考查三角形中的基本计算问题，考查余弦定理的应用，注意B的范围是确定函数最值的关键，也是易错点．