Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=

3

，∠ABC=60°
（1）证明：AB⊥A₁C
（2）求二面角A₁-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据AB=1，AC=AA₁=

3

，∠ABC=60°，可知AB⊥AC，而A₁A⊥平面ABC，AB?平面ABC，根据线面垂直的性质可知AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面A₁ACC₁，又A₁C?平面A₁ACC₁，从而AB⊥A₁C；
（2）以A为坐标原点，AB，AC，AA₁，分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标，分别求出平面ABC的一个法向量和平面A₁BC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（I）∵AB=1，AC=AA1=

3

，∠ABC=60°
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
∴A₁A⊥平面ABC，而AB?平面ABC
∴AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁，而A₁C?平面A₁ACC₁，
∴AB⊥A₁C；
解：（II）建立如图所示的空间坐标系
由AB=1，AC=AA₁=

3

，得
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0），A₁（0，0，

3

）
由A₁A⊥平面ABC，可得

AA1

=（0，0，

3

）是平面ABC的一个法向量
设

m

=（x，y，z）是平面A₁BC的一个法向量，由

BC

=（-1，

3

，0），

A1B

=（1，0，-

3

）
可得

m • BC =0 m • A1B =0

，即

-x+ 3 y=0 x- 3 z=0

令x=

3

，则

m

=（

3

，1，1）
设二面角A₁-BC-A的平面角为θ
则cosθ=

| m • AA1 |

| m |•| AA1 |

=

3

3 • 5

=

5

5

点评：本题考查的知识点是二面角的求法，线面垂直的判定与性质，（1）的关键是熟练掌握空间线面垂直与线线垂直的相互转化，（2）的关键是建立坐标系，将二面角转化为向量夹角．