Question

已知函数f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．求实数a的值．

Answer 1

分析：通过函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增得到在x=1处取到极小值，根据极值点的几何意义建立等量关系，求出a即可．

解答：解：∵函数f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增
∴当x=1取得极小值，∴f′（1）=0
∵f′（1）=-x³+2x²+2ax-2
∴f′（1）=-x³+2x²+2ax-2=0，得a=

1

2

，
故实数a的值为

1

2

．

点评：本题主要考查了利用导数的单调性进行判定函数的极值，以及极值点的几何意义等，属于基础题．