题目内容

已知f（x）=sinx+2x，x $数学公式$ ，且f（1+a）+f（2a）＜0，则a的取值范围是________．

[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
分析：根据函数奇偶性的定义，证出f（x）在其定义域 $\text{[math]}$ 上是奇函数，从而将不等式f（1+a）+f（2a）＜0化成f（1+a）＞f（-2a）．再利用导数研究函数的单调性，可得函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
解答：∵f（-x）=-sinx-2x=-f（x），
∴函数f（x）在其定义域 $\text{[math]}$ 上是奇函数
因此，不等式f（1+a）+f（2a）＜0可化成f（1+a）＜-f（2a）
即f（1+a）＞f（-2a），
∵函数f（x）=sinx+2x，求导数得f'（x）=cosx+2＞0
∴函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数
由此可得原不等式等价于 $\text{[math]}$ ，解之得- $\text{[math]}$ ≤a＜- $\text{[math]}$
即实数a的取值范围为[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
故答案为：[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
点评：本题给出含有正弦与一次式的基本初等函数，在已知单调性和奇偶性的前提下求解关于a的不等式，着重考查了函数的单调性、奇偶性等基本性质和不等式的解法等知识点，属于中档题．