Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）=，
令f'（x）=0，得x=±k
当k＞0时，f'（x）f（x）随x的变化情况如下：

所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k），和（k，+∞），
单调递减区间是（﹣k，k）；
当k＜0时，f'（x）f（x）随x的变化情况如下：

所以，f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k），和（﹣k，+∞），
单调递增区间是（k，﹣k）；
（Ⅱ）当k＞0时,∵f（k+1）=，
∴有任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，
当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（﹣k）=，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，f（﹣k）=≤，
解得﹣，
故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是﹣．