Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=AD=AP=

1

2

CD，E为PC中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：BE∥平面PAD；
（3）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可得平面PDC⊥平面PAD；
（2）取PD中点F，连接EF，AF，证明四边形EFAB是平行四边形，即可证明BE∥平面PAD；
（3）连AC，取AC的中点G，连接EG，则EG⊥平面ABCD，过G作GH⊥BD，H为垂足，连接EH，则∠EHG为二面角E-BD-C的平面角，从而可得结论．

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD
∵CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；（4分）
（2）证明：取PD中点F，连接EF，AF，则
∵E为PC中点，
∴EF∥CD，EF=

1

2

CD
∵AB⊥AD，CD⊥AD，AB=

1

2

CD，
∴EF∥AB，EF=AB
∴四边形EFAB是平行四边形
∴BE∥AF
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；（8分）
（3）解：连AC，取AC的中点G，连接EG，则EG⊥平面ABCD，
过G作GH⊥BD，H为垂足，连接EH，则∠EHG为二面角E-BD-C的平面角．（10分）
设AB=AD=AP=

1

2

CD=1，则可求得EG=

1

2

，GH=

2

4

，
∴EH=

1 4 +( 2 4 )2

=

6

4

∴cos∠EHG=

GH

EH

=

3

3

（12分）．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直，考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．