Question

【题目】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的动直线交抛物线于两点，抛物线上是否存在一个定点，使得以弦为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点符合题意.

【解析】

（1）利用抛物线上的点到焦点的距离与到到准线的距离相等即可求出的值，即可求出抛物线方程.

（2）假设存在满足条件的点，依题设过点直线的直线的方程为，设，联立方程由根与系数的关系可得；依题可得,若能得出关于的成立的恒等式，则满足条件的点存在，否则就不存在.

（1）抛物线的准线方程为，

所以点到准线的距离为，又,

由抛物线的定义可得，所以，

所以抛物线的方程为：.

（2）假设存在点使以弦为直径的圆恒过点，

设过点直线的直线的方程为，

联立方程得，

设，则，；

因为点总是在以弦为直径的圆上，

所以，所以

由，

所以

即

当或，等式显然成立；

当或时，则有

即，则，

即

所以当时，无论取何值等式都成立，

将代入得，

所以存在点使以弦为直径的圆恒过点.