Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是 AB的中点。

（I）求证：AC₁//平面CDB₁；
（II）求证：AC⊥BC₁。

Answer 1

证明：（1）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE//AC₁，
∵DE平面CDB₁，而AC₁平面CDB₁，
∴AC₁//平面CDB₁。
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，                       ①
又侧棱垂直于底面ABC，
∴CC₁⊥AC，                     ②
又BC∩CC₁=C，                  ③
由①②③，得AC⊥面BCC₁，
又BC₁平面BCC₁，
∴AC⊥BC₁。