Question

已知，
（I）讨论f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并证明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）令t=2-m，对（II）中的m，求函数的最小值．
（其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]=1，[2.6]=2，[-2.6]=-3）

Answer 1

【答案】分析：（I）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x₁，x₂∈（-2，+∞）；②作差f（x₁）-f（x₂）变形；③定号；④下结论；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx²+（m-3）x+1=0，然后对m进行分类讨论，研究方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，从而求出实数m的取值范围．
（Ⅲ）若m=1，则t=1，；若m＜1，则，，取等号当且仅当这是不可能的，所以，从而只有当m=1时，g（t）取最小值1．
解答：解：（Ⅰ）因为，所以，当时，f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数，
当时，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（1分）
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，则=，
因为x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，所以，（x₁+2）（x₂+2）＞0，且x₁-x₂＜0，当时，有f（x₁）-f（x₁）＜0，f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数；
当时，有f（x₁）-f（x₁）＞0，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=g（x）?x-2m-5=mx²+（m-2）x-2m-4，整理得：mx²+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx²+（m-3）x+1
当m=0时，，符合题设；
当m＜0时，必有△＞0，且，h（-2）=2m+7≠0，所以也符合题设；
当m＞0时，因为，
所以，方程的两根必须都是正根，有：，
解得：0＜m≤1，
综上所述，m≤1且．…（7分）
（Ⅲ）因为m≤1，所以t=2-m≥1，或0
若m=1，则t=1，；
若m＜1，则，，
取等号当且仅当这是不可能的，
所以，所以当m=1时，g（t）取最小值1．
…10
点评：本题主要考查函数单调性的应用．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．取值时，必须注意定义中的x₁、x₂具有的三个特征；变形时，一定要分解完全，对于抽象函数问题注意合理的利用条件等．