Question

已知函数f（x）=4lnx-ax+

a+3

x

（a≥0）．
（1）当a=

1

2

，求f（x）的极值．
（2）当a≥1时，设g（x）=2e^x-4x+2a，若存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可得到函数的极值；
（2）存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），转化为在[

1

2

，2]上f（x）的最大值大于g（x）的最小值，进而转化为求f（x）、g（x）在[

1

2

，2]上的最大值、最小值问题．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=

1

2

，f（x）=4lnx-ax+

a+3

x

=4lnx-

x

2

+

7

2x

，
∴f′（x）=

4

x

-

1

2

-

7

2x2

=-

(x-1)(x-7)

2x

令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得1＜x＜7，令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴可得0＜x＜1或x＞7
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，+∞），单调增区间为（1，7）
∴x=1时，函数取得极小值为3；x=7时，函数确定极大值为4ln7-3；
（2）f′（x）=

-ax2+4x-(a+3)

x2

，（x＞0），令h（x）=-ax²+4x-（a+3），
若a≥1，则△=4²-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4）≤0，
∴h（x）≤0，
∴f′（x）=

-ax2+4x-(a+3)

x2

≤0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
∴当a≥1时，f（x）在[

1

2

，2]上单调递减，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f（

1

2

）=-4ln2+

3

2

a+6，
g′（x）=2e^x-4，令g′（x）=0，得x=ln2．
当x∈[

1

2

，ln2）时，g′（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（ln2，2]时，g′（x）＞0，∴g（x）单调递增，
∴g（x）在[

1

2

，2]上的最小值为g（ln2）=4-4ln2+2a，
由题意可知-4ln2+

3

2

a+6＞4-4ln2+2a，解得a＜4，
又a≥1，∴实数a的取值范围为[1，4）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值与最值，考查存在性问题，属于中档题．