Question

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据f′（1）=0可求a值，注意检验；
（Ⅱ）由题意可得f′（x）=0有两个不等正根，根据二次方程根的分布可得a的不等式；

解答：解：f′（x）=-2x+a-

1

x

，
（I）由于f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=-2+a-1=0，解得a=3，
经检验知，当a=3时，f（x）取得极值，所以a=3；
（II）令f′（x）=-2x+a-

1

x

=0，得2x²-ax+1=0，
由题意有

a 4 ＞0 △=a2-8＞0

，解得a＞2

2

，
∴a的取值范围为（2

2

，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、二次方程根的分布问题，属基础题．