Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁，F₂，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|≤2|F₁F₂|，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A、(0，

  1

  2

  ]
• B、(0，

  2

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1)
• D、[

  2

  2

  ，1)

Answer 1

分析：根据准线方程公式，由椭圆的方程可得y=±

a2

c

，表示出|MN|的长，又|F₁F₂|=2c，所以把|MN|和|F₁F₂|的长分别代入|MN|≤2|F₁F₂|，化简后即可求出e的范围，然后根据a大于c得到e小于1，两者求出交集即可得到椭圆离心率的取值范围．

解答：解：因为椭圆的准线方程为x=±

a2

c

，所以|MN|=

2a2

c

；又|F₁F₂|=2c，
则由|MN|≤2|F₁F₂|，得到

2a2

c

≤4c，即(

c

a

)2≥

1

2

，即e=

c

a

≥

2

2

，又a＞c，所以e＜1，
则该椭圆离心率的取值范围是[

2

2

，1）．
故选D

点评：此题考查学生掌握椭圆的准线方程的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．