Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，=（S_n，1），=，．
（Ⅰ）求证：为等差数列；
（Ⅱ） 若，问是否存在n₀，对于任意k（k∈N^*），不等式成立．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵，=（S_n，1），=，
∴，
∴
两式相减，整理可得，∴，
又n=1时，，∴a₁=-4，∴=-2
∴是以-2为首项，-1为公差的等差数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
∴，
令b_n+1≥b_n，
∴（2012-n）2ⁿ⁺¹≥（2013-n）2ⁿ，
∴n≤2011
∴b_n的最大值为，
∴存在n₀=2011或2012，对于任意k（k∈N^*），不等式成立．
分析：（Ⅰ）根据，利用向量的数量积公式，可得，再写一式，两式相减，整理可得是以-2为首项，-1为公差的等差数列；
（Ⅱ）确定数列的通项，令b_n+1≥b_n，即可知b_n的最大值，由此可得结论．
点评：本题考查向量知识的运用，考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的恩了，属于中档题．