Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数．若．
（1）判断函数y=sinkx，（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，请说明理由．
（2）记G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若，且G（x）的最大值为，求G（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）若函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，
则存在正实数m，n使得sinkx=恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0这个条件，
故函数y=sinkx，（k∈R）不是为f（x），g（x）在R上的生成函数，
（2）∵G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若，
则存在正实数m，n使得G（x）=恒成立，
且，即：m+n=2，
故G（x）==
=
令sin=t，则G（x）=-2nt²+（2-n）t+n，
根据其G（x）的最大值为，
得到：n=1 或
代入m+n=2，得

故G（x）的解析式为：G（x）=或G（x）=．
分析：（1）根据题意，函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，则存在正实数m，n使得sinkx=恒成立，通过取特殊值得出矛盾，从而解决问题；
（2）由于G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，则存在正实数m，n使得G（x）=恒成立，
再结合题中条件得出关于m，n 的方程，即可求得m，n，从而得到代G（x）的解析式．
点评：本小题主要考查函数的值域、函数恒成立问题、三角变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．