Question

（2012•石景山区一模）甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为

1

3

，乙每次投中的概率为

1

2

，每人分别进行三次投篮．
（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B₁，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B₂，
则A=B₁∪B₂，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3．                         …（1分）
则P(ξ=0)=

C

0 3

(

2

3

)3=

8

27

；P(ξ=1)=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)2=

4

9

；
P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

) =

2

9

；P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（4分）
∴Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．                …（5分）
（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为1-

C

3 3

(

1

2

)3=

7

8

．              …（8分）
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B₁，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B₂，
则A=B₁∪B₂，B₁，B₂为互斥事件．                     …（10分）
所以P（A）=P（B₁）+P（B₂）=

8

27

×

3

8

+

4

9

×

1

8

=

1

6

．
所以乙恰好比甲多投中2次的概率为

1

6

．                …（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．