Question

设f(n)=(

1+i

1-i

)n+(

1-i

1+i

)n(其中i为虚数单位，n∈N*)，则集合{x|x=f（n）}中元素个数是（　　）

• A、2
• B、4
• C、3
• D、无穷多个

Answer 1

分析：依据两个复数代数形式的除法法则，化简

1+i

1-i

 和

1-i

1+i

，得到f（n）=iⁿ+（-i）ⁿ，分 n=4k，n=4k+1，
n=4k+2，n=4k+3这四种情况分别求出f（n）=的值，即得结论．

解答：解：∵

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=

2i

2

=i，∴

1-i

1+i

=

1

i

= -i，
根据虚数单位i的幂运算性质，有f(n)=(

1+i

1-i

)n+(

1-i

1+i

)n=iⁿ+（-i）ⁿ=

2    (n=4k   k∈z) 0  (n=4k+1   k∈z) -2  (n=4k+2  k∈z) 0    (n=4k+3  k∈z)

，
故f（n）有3个不同的值，
故选 C．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点．